fbpx

Contact

Neem contact met ons op.

Openingstijden app

Maandag tot en met donderdag: 8:30 tot 22:00 uur
Vrijdag: 8:30 tot 16:00 uur
Zaterdag: 10:00 tot 16:00 uur
Zondag: 10:00 tot 22:00 uur

Bezoekadres

Lopendediep 5
9712 NV
Groningen

KvK: 66929237
BTW: NL8567.56.623.B01
IBAN: NL93 ABNA 0483 1544 31

Vergelijkingen met een sinus of een cosinus zijn vaak lastig op te lossen.

Er zijn verschillende types vergelijkingen, die op verschillende manieren op te lossen zijn.

Maar hoe doe je dat nou eigenlijk? Mr. Chadd legt het voor je uit!

hoe los je goniometrische vergelijkingen op
Goniometrische vergelijkingen als sin(x)=c of cos(x)=c
Ten eerste zijn er vergelijkingen van de vorm sin(x) = c of cos(x) = c, zoals sin(x) = ½√2. Dit los je op door op de exacte-waarden-cirkel te kijken waar de sinus gelijk is aan ½√2. Je kan op de cirkel zien dat dit het geval is bij x = ¼ en x = ¾π. Als je één keer de cirkel rond bent gegaan, kom je weer op een x uit waar de sinus gelijk is aan ½√2. Omdat de omtrek van de exacte waardencirkel 2π is, betekent dit dat je het antwoord noteert als x=¼π + 2kπ V x=¾ + 2kπ. Hier is k een heel getal, dat ervoor staat hoe vaak je de cirkel rond bent gegaan.

Meestal is de vergelijking een stukje ingewikkelder. Een voorbeeld hiervan is 6cos(2x) + 2 = 5. In dat geval moet je rekenregels volgen en dit eerst schrijven als 6cos(2x) = 3 en daarna als cos(2x) = ½. Vervolgens kan je kijken waar de cosinus gelijk is aan ½: dit is bij ¹⁄³π en 1 2/3π. Je krijgt dan dus 2x = ¹⁄³ + 2 V 2x = 1 2⁄3 π + 2kπ . Delen door 2 geeft dus dat het antwoord x = 1⁄6 + kπ V x = 5⁄6π + kπ is.

Goniometrische vergelijkingen als sin(x)=sin(y) of cos(x)=cos(y)
Daarnaast zie je vaak vergelijkingen van de vorm sin(x) = sin(y) of cos(x) = cos(y). Hierbij zijn er weer twee antwoorden, die je op de volgende manier kan vinden:

sin(x) = sin(y) –> x = y + 2kπ V x = π -y + 2kπ
cos(x) = cos(y) –> x = y + 2kπ V x= -y + 2kπ

Een voorbeeld van een vergelijking waar je dit kan toepassen is sin(3x) = sin(x – ½π). Hierbij gebruik je de bovenstaande rekenregel, waardoor je 3x = x – ½ + 2kπ V 3x = π – x – ½π + 2kπ. Als je termen met x naar de andere kant brengt, geeft dit 2x = -½ + 2kπ V 4x = ½π + 2kπ. Dit geeft uiteindelijk x = -¼π + kπ V x = 1⁄8π + ½kπ.

Goniometrische vergelijkingen met een kwadraat
Soms kom je ook goniometrische vergelijken tegen met een sinus of cosinus in het kwadraat. Als deze van de vorm sin2(x) = c is, is het antwoord sin(x) = √c of sin(x) = -√c (en hetzelfde voor cos2(x)). Zo is sin2(x)= ¾ te vereenvoudigen tot sin(x) = ½√3 V sin(x)= -½ √3.

Als je goniometrische vergelijking van de vorm a sin2(x) + b sin(x) + c = 0 is (weer hetzelfde met de cosinus), moet je een substitutie gebruiken. Zo krijg je een formule van de vorm a u2 + b u + c = 0. Deze kan je dan oplossen als een ‘gewone’ kwadratische vergelijking, met de product-som-methode of de abc-formule. Een voorbeeld van zo’n vergelijking is cos2(x) + 1½ cos(x) +½ = 0. De substitutie cos(x) = u leidt dan tot u2 + 1 ½ u + ½ = 0. Dit kan je oplossen met de product-som-methode: (u+1)(u+½) = 0. Dit geeft u = -1 V u= -½, dus cos(x) = -1 V cos(x)= -½. Dit kan je weer oplossen door te kijken naar de exacte waardencirkel: Je vindt dan x = π + 2kπ V x= 2⁄3 + 2kπ V x = 1 1⁄3 π + 2kπ.

Domein
Soms is er een domein gegeven bij de vraag. In dat geval zijn er maar een paar waarden van k waarvoor het antwoord klopt. Als het domein [0,4π] gegeven is bij het antwoord x = ½π + 2kπ, zijn de juiste antwoorden bijvoorbeeld x = ½π en x = 2½π. Het antwoord x = 4½π ligt bijvoorbeeld buiten het domein. Let daarom altijd goed op welk domein gegeven is en welke waarden van k een oplossing vinden binnen het domein.

Oefenvragen
Los de volgende vergelijkingen op:

  1. 2sinx) – 1 = ½
  2. cos(x-½π) = cosx+2π)
  3. sin2(2x) + ½sin(2x) -½ = 0 in het domein [0, π]
  4. sin(1⁄3x + π) = sin(x 1⁄3π) in het domein [0,2π]



 

 

 

Deze uitleg is geschreven door Josse.

Heb je vragen over dit onderwerp?

Stel je vraag via de app

Chat
Chat

Hulp nodig met je huiswerk?

Loop je tegen een lastige berekening aan of ben je even kwijt of je ‘word’ met een d of een dt schrijft? Meld je nu aan en stuur Mr. Chadd een bericht!

icon-external-link cancel close check cog graduate navigatedown icon-info icon-phone icon-mail icon-chat icon-facebook icon-instagram icon-twitter icon-youtube icon-play icon-eye whatsapp