Asymptoten: het is een lastig begrip!

Wil jij erachter komen wat asymptoten nou eigenlijk zijn, en hoe je ze kan gebruiken?

Mr. Chadd legt het voor je uit in dit artikel!

Asymptoten

Asymptoten zijn eigenlijk lijnen waar een grafiek ‘langs loopt’ De grafiek zit voor een lange tijd in de buurt van de lijn, maar raakt de lijn net niet aan. Je ziet het vooral bij hyperbolische formules, zoals y = 1/x . Als x hier heel groot is, is y bijna 0, maar net niet helemaal! De formule heeft dus een asymptoot bij y = 0. Op dezelfde manier is x bijna 0 als y heel erg groot is. De grafiek heeft dus ook een asymptoot bij x = 0.

Asymptoten langs de y-as (zoals die van x = 0) heten verticale asymptoten. Asymptoten langs de x-as (zoals die van y = 0) heten horizontale asymptoten.

Verticale asymptoten

Om de verticale asymptoot te bepalen, kan je kijken waar y oneindig groot wordt. Dat kan je doen door te kijken voor welke x de noemer van de breuk gelijk is aan 0. Delen door 0 is namelijk niet mogelijk, want dan wordt de breuk oneindig groot. Bij een formule als y = 2x-3/3x-6 kan je de verticale asymptoot bepalen door 3x -6 = 0 op te lossen. Dit geeft 3x = 6 , dus de verticale asymptoot zit hier op x = 6 : 3 = 2.

Horizontale asymptoten

Om de horizontale asymptoot te bepalen, kan je kijken wat er gebeurt als x heel erg groot wordt. Je kan voor x een getal als 100.000 invullen, en dan kijken wat er gebeurt met y. Als je bij een formule als y = 2x-3/3x-6 een hele grote waarde van x invult, krijg je bijvoorbeeld y = 2100.000-3/3100 000-6 . Je ziet dan dat de -3 en de -6 eigenlijk bijna niet meer uitmaken. Je kan de formule dus benaderen tot y = 2x/3x = 2/3 . De horizontale asymptoot zit dus op y = 2/3 .

Voorbeeld

Je hebt de formule y = 2x ² +3 ÷ x²-1 en je wil de asymptoten weten, hoe ga je dan te werk? De verticale asymptoten kan je vinden door x² – 1 = 0 te berekenen. Dit geeft *x^*2 = 1, dus de verticale asymptoten zitten bij x = 1 en x = -1. Voor de horizontale asymptoten kan je een hele grote waarde van x invullen, zoals x = 100.000. Dan krijg je y = 2**100.000² +3 ÷ 100.000² -1 ≈ 2/1 =2 . De horizontale asymptoot zit dus bij y = 2. Nu weet je alle asymptoten van deze formule: x = 1, x = -1 en y = 2.

Oefenvragen

Wat zijn de horizontale en verticale asymptoten van de volgende formules:

1. y = 8-3x/4x+2
2. y = 2 + 4x+8/2x-5
3. y = x+1/x ² -4
4. y = -2+3x ² -4/x ² -9

Leerlingen die hier vragen over hebben, keken ook naar:

Limieten

Transformaties en translaties

Hoe stel je de formule van een raaklijn op?