fbpx

Contact

Neem contact met ons op.

Openingstijden app

Maandag tot en met donderdag: 8:30 tot 22:00 uur
Vrijdag: 8:30 tot 16:00 uur
Zaterdag: 10:00 tot 16:00 uur
Zondag: 10:00 tot 22:00 uur

Bezoekadres

Lopendediep 5
9712 NV
Groningen

KvK: 66929237
BTW: NL8567.56.623.B01
IBAN: NL93 ABNA 0483 1544 31

Een cirkel kan aan de hand van het middelpunt en de straal beschreven worden met een vergelijking.

Maar hoe ziet zo’n vergelijking er nou uit en hoe stel je deze zelf op?

Mr. Chadd legt het voor je uit!

cirkelvergelijkingen
Vorm van een cirkelvergelijking
Een cirkel wordt altijd beschreven door de formule (x-a)2 + (y-b)2= r2. Hierin is a de x-coördinaat van het middelpunt en b de y-coördinaat van het middelpunt. Het middelpunt is dus gegeven door M(a,b). R is de straal van de cirkel. Deze vergelijking kan in verschillende situaties gebruikt worden om de cirkelvergelijking te vinden.


Kwadraatafsplitsen
Als je een vergelijking als x2 + y2 – 4x + 6y-3= 0 moet herleiden tot een cirkelvergelijking, dan gebruik je ‘kwadraatafsplitsen’. Dat betekent dat je de term x2-4x omschrijft tot iets (x-2)2. Het is daarom handig, om de vergelijking eerst op te schrijven als x2 – 4x + y2 + 6y – 3 = 0. Uit (x-2)2 komt alleen niet x2 – 4x, maar x2 – 4x + 4, dus is de juiste manier om x2 – 4x af te splitsen, door dit te schrijven als (x-2)2 – 4.

Als je hetzelfde doet voor y2+6y, krijg je uiteindelijk (x-2)2 – 4 + (y+3)2 – 9 – 3 = 0. Als je dit omschrijft, kom je op de vergelijking (x-2)2+ (y+3)2 = 16. Nu heb je de vergelijking van een cirkel met middelpunt (2,-3) en straal 4!

Raaklijn op de cirkel
Stel: je moet een vergelijking opstellen van een cirkel met een gegeven middelpunt die een lijn raakt. Dit kan je oplossen door een lijn op te stellen loodrecht op de raaklijn. Deze lijn gaat namelijk precies door het middelpunt!

Je hebt een cirkel met middelpunt (3,4) die de lijn k : y = ½x raakt, dan kan je de lijn door het middelpunt vinden met behulp van de formule rck * rcl= -1, die zegt dat het product van de richtingscoëfficiënt van twee raaklijnen loodrecht op elkaar precies -1 is. De richtingscoëfficiënt van lijn l is dus -2. Omdat deze lijn door het middelpunt (-3,4) gaat, is de formule van lijn l dus l : y = -2(x-3) + 4 = -2x + 10. Wat je nu moet doen, is het snijpunt van k en l berekenen door –2x + 10 = 1/2x op te lossen. Dit geeft x = 4 en als je dit invult in y=1/2x krijg je y = 2. Je hebt dus nu een punt op de cirkel met coördinaten (4,2), en het middelpunt (3,4). De afstand van het punt op de cirkel is precies de straal en je kan deze afstand berekenen met de stelling van Pythagoras. Dit geeft r = √(4-3)2+(2-4)2  = √1+4 = √5. Omdat de straal √5 is en de middelpunt (3,4), is de cirkelvergelijking dus c : (x-3)2 + (y-4)2 = 5.

Oefenvragen

  1. Bereken de cirkelvergelijking van x2 – 10x + y2 – 8x = 8.
  2. Een cirkel met middelpunt (2,6) raakt de lijn y = 2x. Stel de cirkelvergelijking op.



 

 

 

Deze uitleg is geschreven door Josse.

Heb je vragen over dit onderwerp?

Stel je vraag via de app

Chat
Chat

Hulp nodig met je huiswerk?

Loop je tegen een lastige berekening aan of ben je even kwijt of je ‘word’ met een d of een dt schrijft? Meld je nu aan en stuur Mr. Chadd een bericht!

icon-external-link cancel close check cog graduate navigatedown icon-info icon-phone icon-mail icon-chat icon-facebook icon-instagram icon-twitter icon-youtube icon-play icon-eye whatsapp