fbpx

Contact

Neem contact met ons op.

Openingstijden app

Maandag tot en met donderdag: 8:30 tot 22:00 uur
Vrijdag: 8:30 tot 16:00 uur
Zaterdag: 10:00 tot 16:00 uur
Zondag: 10:00 tot 22:00 uur

Bezoekadres

Lopendediep 5
9712 NV
Groningen

KvK: 66929237
BTW: NL8567.56.623.B01
IBAN: NL93 ABNA 0483 1544 31

In de wiskunde wordt de afgeleide vaak gebruikt voor het berekenen van toppen en het bepalen van raaklijnen.

Je kan ook de afgeleide van de afgeleide nemen: de tweede afgeleide! Daarmee kan je de buigpunten berekenen.

Wat zijn dat nou precies? Mr. Chadd legt het voor je uit!

buigpunten en buigraaklijnen
Wat stelt f’’(x) voor?
De tweede afgeleide wordt aangeduid als f”(x) of d2f/dx2. Het geeft aan hoe snel een helling toeneemt of afneemt. Je hebt de volgende 4 situaties:

  • Toenemende stijging: f’(x) is positief en f’’(x) is positief
  • Toenemende daling: f’(x) is negatief en f’’(x) is negatief
  • Afnemende stijging: f’(x) is positief en f’’(x) is negatief
  • Afnemende daling: f’(x) is negatief en f’’(x) is positief

Er zijn bepaalde punten waarop de grafiek bijvoorbeeld overgaat van toenemende stijging naar afnemende stijging. Zo’n punt wordt het buigpunt genoemd. Omdat je dan overgaat van een positieve f’’(x) naar een negatieve f’’(x), zit het buigpunt precies daar waar f’’(x) gelijk is aan 0. Als je weet waar f’’(x) 0 is, weet je dus de coördinaten van het buigpunt.

Voorbeeld
Je hebt de formule f(x) = x3 – 6x2 + 5x + 3, maar hoe bereken je dan de coördinaten van het buigpunt? Je moet eerst de afgeleide berekenen. In dit geval heb je een machtsfunctie, de afgeleide is f'(x) = 3x2 – 12x + 5. De tweede afgeleide bepaal je door hier weer de afgeleide van te nemen, dat is dus f”(x) = 6x – 12. Als je dit gelijk stelt aan 0, kan je x-coördinaat van het buigpunt berekenen: 6x – 12 = 0 –> 6x=12 –> x=2. Nu je weet dat de x-coördinaat van het buigpunt 2 is, kan je de y-coördinaat berekenen. Invullen van de x geeft: f(2) = 23 – 6 * 22 + 5 * 2 + 3 = 8 – 24 + 10 + 3 = -3. Het buigpunt van deze grafiek zit dus op de coördinaten (2,-3).

Buigraaklijn
Met het buigpunt kan je ook de buigraaklijn bepalen. Dit doe je op dezelfde manier als bij een normale raaklijn: je vult de x-coördinaat van het buigpunt in in de normale afgeleide f’(x) om de richtingscoëfficiënt te bepalen. Nu weet je de a van de formule y = ax + b. Als je ook de y-coördinaat van het buigpunt weet, vul je de x en de y in en kan je b berekenen. Als je zowel a en b weet, heb je de formule van de buigraaklijn!

Voorbeeld
Je hebt weer de formule f(x) = x3 – 6x2 + 5x + 3, waarvan we weten dat het buigpunt op (2,-3) zit. Dan kan je de richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn berekenen met de afgeleide: f'(x) = 3x2 – 12x + 5. x=2 invullen geeft f'(2) = 3 * 22 – 12 * 2 + 5 = 12 – 24 + 5 = -7, dus a= -7. Je kan nu het punt (2,-3) invullen in y = -7x + b om b te berekenen: -3 = -7 * 2 + b –> -3 =-14 +b –> b = 11. De formule van de buigraaklijn is dus y = -7x + 11.

En nu jij!
Bereken de coördinaten van het buigpunt van de formule f(x) = 2x3 – x2 + 4x-6.
Bereken de coördinaten van de buigpunten van de formule f(x)=x4 -24x2+8.
Stel een buigraaklijn op van de formule f(x)=1/2x3 – 4x2 + 4x – 8.




 

 

 

Deze uitleg is geschreven door Josse.

Heb je vragen over dit onderwerp?

Stel je vraag via de app

Chat
Chat

Hulp nodig met je huiswerk?

Loop je tegen een lastige berekening aan of ben je even kwijt of je ‘word’ met een d of een dt schrijft? Meld je nu aan en stuur Mr. Chadd een bericht!

icon-external-link cancel close check cog graduate navigatedown icon-info icon-phone icon-mail icon-chat icon-facebook icon-instagram icon-twitter icon-youtube icon-play icon-eye whatsapp